Question

已知数列{a_n}是等差数列，且3a₅=8a₁₂>0，数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N^*），{b_n}的前n项和为S_n，当n多大时，S_n取得最大值？并证明你的结论．

Answer 1

设数列{a_n}的公差为d，则由3a₅=8a₁₂，得3a₅=8(a₅+7d).

    ∴a₅=-d>0.∴d<0．

    ∴a₁₆=a₅+11d=-d+11d=-d>0，

    a₁₇=a₅+12d=-d+12d=d<0．

    ∴a₁>a₂>a₃>…>a₁₆>0>a₁₇>a₁₈>….

    ∴b₁>b₂>b₃>…>b₁₄>0，0>a₁₇>a₁₈>…，

    b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇<0，b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈>0．

    由于a₁₅=a₅+10d=-d+10d=-d，a₁₈=a₅+13d=-d+13d=d，

    ∴a₁₈>|a₁₅|=a₁₅．

    ∴b₁₆>|b₁₅|=-b₁₅．

    ∴S₁₆=S₁₄+b₁₅+b₁₆>S₁₄．

    综上所述，在数列{b_n}的前n项和S_n中，前16项的和S₁₆最大．

解析:

先由3a₅=8a₁₂>0判断公差d的符号，再判断数列{a_n}中符号发生改变的项，从而判断数列{b_n}中符号发生改变的项．