Question

已知函数f(x)=

3

sinxcosx+sin2x-

1

2

．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若将f（x）的函数图象纵坐标不变，横坐标变为原来的

1

2

倍，得到函数g（x）的图象，求g（x）的解析式；当x∈[0，

π

4

]时，求出g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函数的倍角公式和两角和和公式对函数进行化简得y=sin（2x-

π

6

），然后求出函数的周期以及函数的单调增区间．
（2）利用左加右减上加下减的原则对函数的图象进行平移，然后求出函数的解析式，通过x的范围求出相位的范围利用正弦函数的值域求出函数的值域．

解答：解：y=

3

sinxcosx+sin²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

）
（1）函数f（x）的最小正周期：

2π

2

=π．
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得-

π

6

+kπ≤x≤kπ+

π

3

 k∈Z，
函数单调递增区间[-

π

6

+kπ，kπ+

π

3

]，k∈Z．
（2）将f（x）的函数图象纵坐标不变，横坐标变为原来的

1

2

倍，得到函数g（x）的图象，
∴g（x）=的解析式g（x）=sin（4x-

π

6

）．
∵x∈[0，

π

4

]，
∴4x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（4x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]．
g（x）的值域：[-

1

2

，1]．

点评：本题主要二倍角公式的应用，两角和与差的三角函数，正弦函数的周期，单调增区间的求法，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属中档题．