Question

如图为一组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2
（Ⅰ）求证：BE∥平面PDA；
（Ⅱ）求四棱锥B-CEPD的体积；
（Ⅲ）求该组合体的表面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先证明EC∥平面PDA、BC∥平面PDA，从而证明平面BEC∥平面PDA，再由面面平行的性质证明BE∥平面PDA．
（Ⅱ）先证明BC⊥平面PDCE，求出提梯形PDEC的面积，即可求得四棱锥B-CEPD的体积V_B-CEPD 的体积．
（Ⅲ）先求出三角形PBE的面积，再求出S_ABCD、S_PDCE=3、S_PDA=2、S_BCE=1、SPAB=2

2

 的值，从而求得组合体的表面积．

解答：（Ⅰ）证明：∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA，∴EC∥平面PDA．
同理可证BC∥平面PDA．
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC，且EC∩BC=C，∴平面BEC∥平面PDA．
又∵BE?平面EBC，∴BE∥平面PDA．
（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC．
∵BC⊥CD，PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDCE．
∵S_梯形PDCE=

1

2

（PD+EC）•DC=

1

2

×3×2=3，
∴四棱锥B-CEPD的体积V_B-CEPD=

1

3

S_梯形PDCE•BC=

1

3

×3×2=2．
（Ⅲ）解：∵BE=PE=

5

PD=2

3

，
∴SPBE=

1

2

×2

3

×

2

=

6

．
又∵S_ABCD=4，S_PDCE=3，S_PDA=2，S_BCE=1，SPAB=2

2

，
∴组合体的表面积为10+2

2

+

6

．

点评：本题考查证明线线平行、线面平行、面面平行的方法，求棱锥的体积和组合体的表面积，属于中档题．