Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N^*．
（1）当实数t为何值时，数列{a_n}是等比数列？
（2）在（1）的结论下，设b_n=log₃a_n+1，T_n是数列{

1

bn•bn+1

}的前n项和，求T₂₀₁₃的值．

Answer 1

分析：（1）点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N^*．可得a_n+1=2S_n+1，当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1即可得到a_n与a_n-1．要使数列{a_n}为等比数列，则需要

a2

a1

=

2t+1

t

=3，解出即可．
（2）由（1）可得an=3n-1，b_n=log₃a_n+1=log33n=n．利用“裂项求和”即可得出．

解答：解：（1）∵点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N^*．∴a_n+1=2S_n+1，可得a_n=2S_n-1+1（n≥2）．
∴a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，化为a_n+1=3a_n，（n≥2）．
要使数列{a_n}为等比数列，则需要

a2

a1

=

2t+1

t

=3，解得t=1．
（2）由（1）可得an=3n-1，b_n=log₃a_n+1=log33n=n．
∴

1

bn•bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴T₂₀₁₃=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

2013

-

1

2014

)=1-

1

2014

=

2013

2014

．

点评：本题考查了利用“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求a_n、等比数列的定义与通项公式、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．