Question

已知a＞0，b＞0，c＞0且a，b，c不全相等．求证：++＞a+b+c．

Answer 1

【答案】分析：本小题可用分析法、综合法或作差比较法证明，注意条件a，b，c不全相等的使用．
1、分析法就是证明，使不等式成立的充分条件成立，要证++＞a+b+c，
只要证＞a+b+c，只要证（bc）²+（ac）²+（ab）²＞abc（a+b+c），
左边使用均值不等式，可证出大于右边．
2、综合法，不等式左边变形后直接使用均值不等式．
3、作差比较法，作差--变形--判断符号．
解答：证明：方法一：（分析法）要证++＞a+b+c，
只要证＞a+b+c．
∵a，b，c＞0，
只要证（bc）²+（ac）²+（ab）²＞abc（a+b+c），
由公式知（bc）²+（ac）²≥2abc²，
（ac）²+（ab）²≥2a²bc，（bc）²+（ab）²≥2ab²c．
∵a，b，c不全相等，上面各式中至少有一个等号不成立，三式相加得：
2[（bc）²+（ac）²+（ab）²]＞2abc²+2a²bc+2ab²c，
即（bc）²+（ac）²+（ab）²＞abc（a+b+c）成立．
∴++＞a+b+c成立．
方法二：（综合法）∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴+≥2=2c，
+≥2=2b，
+≥2=2a，
又∵a，b，c不全相等，∴上面三式不能全取等号，
三式相加得++＞a+b+c．
方法三：（作差比较法）++-a-b-c
=
=•＞0（a，b，c不全相等），
即++-a-b-c＞0，
∴++＞a+b+c．
点评：通过用分析法、综合法或作差比较法证明不等式，体会几种方法间的区别与联系．