Question

【题目】如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，且， ，四棱锥的体积为2，点在平面内的正投影为，且在上，点在线段上，且．

（Ⅰ）证明：直线平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：（1）通过构造辅助线FH，证明为平行四边形，即借助线线平行证明线面平行；（2）借助底面四边形的对角线互相垂直，建立空间直角坐标，利用向量方法求解二面角.

（Ⅰ）解析：

因为四棱锥的体积为2，

即，所以

又，所以即点是靠近点的四等分点，

过点作交于点，所以，

又，所以且，

所以四边形为平行四边形，

所以，所以直线平面.

（Ⅱ）

设的交点为， 所在直线为轴， 所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设平面的法向量为，

，则， ，则

，即为所求.