题目内容

已知数列{an}满足an+2=4an+1-4an，a1=2，a2=12．

(Ⅰ)求证：数列{an+1-2an}是等比数列；

(Ⅱ)令bn=，求证：数列{bn}是等差数列；

(Ⅲ)设cn=，求数列{cn}的前n项和．

(Ⅰ)证明：由an+2=4an+1-4an有

an+2-2an+1=2(an+1-2an).

∵a2-2a1=12-2×2=8≠0，

∴数列{an+1-2an}是等比数列．

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)，an+1-2an=8·2n-1=4·2n．

∵bn=，∴an=2nbn.∴2n+1bn+1-2·2nbn=4·2n．

∴bn+1-bn=2． ∴数列{bn}是等差数列.

(Ⅲ)解：由(Ⅱ)，有bn= b1+(n-1)·2．

又b1==1，∴bn=2n-1．∴an=2n·(2n-1)．

而cn=，∴cn=．

令S=c1+c2+…+cn，

则S=，

．

两式相减，有

.

∴S=．

即数列{cn}的前n项和为．

练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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