Question

【题目】椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点F2（c，0）垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点且|AB|= ，又过左焦点F1（﹣c，0）任作直线l交椭圆于点M
（1）求椭圆C的方程
（2）椭圆C上两点A，B关于直线l对称，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知椭圆的通径丨AB丨= = ，①

椭圆的离心率e= = = ，则 = ，②

由①②解得：a2=3，b2=2，

∴椭圆的标准方程为：

（2）解：由（1）可知：左焦点F1（﹣1，0），

依题意直线l不垂直x轴，当直线l的斜率k≠0时，可设直线l的方程为：y=k（x+1）（k≠0）

则直线AB的方程为：y=﹣ +b．A（x1，y1），B（x2，y2），

联立 ，整理得，（2k2+3）x2﹣6kmx+3k2m2﹣6k2=0，

△=（6km）2﹣4×（2k2+3）（3k2m2﹣6k2）＞0，则m2k2﹣2k2﹣3＜0，

x1+x2= ，x1x2= ，

设AB的中点为C（xC，yC），则xC= = ，yC= ．

点C在直线l上，∴ =k（ +1），则m=﹣2k﹣ ，…②

此时m2﹣2﹣ =4k2+ +4＞0与①矛盾，故k≠0时不成立．

当直线l的斜率k=0时，A（x0，y0），B（x0，﹣y0）（x0＞0，y0＞0）

△AOB面积s= ×2y0×x0=x0y0．

∵ + =1≥2 = x0y0，∴x0y0≤ ．

∴△AOB面积的最大值为 ，当且仅当 + = 时取等号．

△AOB面积的最大值

【解析】（1）由椭圆的通径公式及离心率公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）当直线l的斜率k≠0时，可设直线l的方程为：y=k（x+1）（k≠0），即可求得直线AB的方程，联立直线与椭圆方程，由△＞0得到k，m的关系式，再由对称性求得k，m的关系式，此时k不存在；当直线l的斜率k=0时，A（x0 ， y0），B（x0 ， ﹣y0）（x0＞0，y0＞0）△AOB面积s=x0y0 ， 由均值不等式求解．