Question

{a_n},{b_n}都是各项为正数的数列，对任意的自然数n，都有a_n、b_n²、a_n+1成等差数列，b_n²、a_n+1、b_n+1²成等比数列.

(1)试问{b_n}是否是等差数列？为什么？

(2)求证：对任意的自然数p,q(p＞q),b_p－q²+b_p+q²≥2b_p²成立；

(3)如果a₁=1,b₁=,S_n=，求.

Answer 1

答案：
解析：

是等差数列；；2 依题意2bn2=an+an+1，　　　　　　　　　　　　① an+12=bn2·bn+12.　　　　　　　　　　　　　　② (1)∵an＞0，bn＞0，∴由②式得an+1=bn·bn+1，从而n≥2时，an=bn－1·bn,代入①2bn2=　　　bn－1bn+bnbn+1, ∴2bn=bn－1+bn+1(n≥2), ∴{bn}是等差数列. (2)因为{bn}是等差数列，∴bp－q+bp+q=2bp. ∴bp－q2+bp+q2≥. (3)由a1=1,b1=及①②两式易得a2=3,b2=， ∴{bn}中公差d=， ∴bn=b1+(n－1)d =(n+1), ∴an+1=(n+1)(n+2).　　　　　　　　　　　　③ 又a1=1也适合③,∴an=(n∈N), ∴, ∴Sn=2［1－］ =2(1－), ∴=2.