题目内容

如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，AB=SA=1，AD=2，且P为BC的中点．
（1）求异面直线AP与平面SPD所成角的正弦值；
（2）求二面角C-SD-P的余弦值．

解：因为SA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，所以AB，AD，AS两两垂直，
以AB，AD，AS所在直线为坐标原点建立如图所示的坐标系，
则各点坐标如下：
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），S（0，0，1），P（1，1，0）
（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
设平面SPD的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 可得y=1，z=2，
平面SPD的一个法向量为 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
则直线AP与平面SPD所成角的正弦值等于 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
设平面SCD的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 可得x=0，y=1，
平面SCD的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，
由（1）可知，平面SPD的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
由图可知，二面角C-SD-P为锐二面角，因此二面角C-SD-P的余弦值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）以AB，AD，AS所在直线为坐标原点建立坐标系，直线AP与平面SPD所成角通过面 $\text{[math]}$ 间接求解
（2）分别求出平面SCD，平面PSD的一个法向量，利用两法向量夹与二面角的关系求解．
点评：本题考查空间角的计算，利用向量的方法减少了思维量，使问题变得容易解决．