Question

已知f（x）=2x-1，g（x）=-2x，数列{a_n} （n∈N^*）的各项都是整数，其前n项和S_n．若点（a_2n-1，a_2n）在函数y=f（x）或y=g（x）的图象上，且当n为偶数时，an=

n

2

，则S₈₀=820．

Answer 1

分析：由f（x）=2x-1，g（x）=-2x，点（a_2n-1，a_2n）在函数y=f（x）或y=g（x）的图象上，知a_2n=2a_2n-1-1，或a_2n=-2a_2n-1，当a_2n=2a_2n-1-1时，a_2n-1=2（a_2n-1-1），由数列{a_n} （n∈N^*）的各项都是整数，且当n为偶数时，an=

n

2

，知a2n-1=

n+1

2

，a2n=

2n

2

=n，由此能够求出S₈₀．

解答：解：∵f（x）=2x-1，g（x）=-2x，
点（a_2n-1，a_2n）在函数y=f（x）或y=g（x）的图象上，
∴a_2n=2a_2n-1-1，或a_2n=-2a_2n-1，
∵当n为偶数时，an=

n

2

，
∴当a_2n=2a_2n-1-1时，2a_2n-1=a_2n+1=n+1，
∴a2n-1=

n+1

2

，
令n=2k-1，k∈N^*，则a_4k-3=

2k-1+1

2

=k，即a₁，a₅，a₉，…，成首项为1，公差为1的等差数列；
当a_2n=-2a_2n-1时，a_2n-1=-

n

2

，
所以n为偶数时，a_2n-1=-

n

2

，
令n=2k′，k′∈N^*，则a_4k′-1=-

2k′

2

=-k′，即a₃，a₇，a₁₁，…，成首项为-1，公差为-1的等差数列；
所以S_4n=S_奇+S_偶=[（1+2+3+…+n）+（-1-2-3-…-n）]+（1+2+3+4+…+2n）=

2n（1+2n）

2

=2n²+n．
∴S₈₀=2×20²+20=820．
故答案为：820．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．