Question

已知等差数列{a_n}为递增数列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和Tn=1-

1

2

bn；
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若cn=

3n•bn

an•an+1

，s_n为数列{c_n}的前n项和，证明：s_n＜1

Answer 1

分析：（1）由韦达定理求出a₂、a₅，由数列是等差数列，求出数列a_n的公差和通项公式；由bn=

T1           n=1 Tn-Tn-1    n≥2

，求出数列b_n的通项公式；
（2）把数列a_n、b_n的通项公式代入数列c_n中，得出数列c_n的通项公式并化简，从而求出其前项和，进而证明不等式．

解答：解：（Ⅰ）由题意得a₂=3，a₅=9
公差d=

a5-a2

5-2

=2   （2分）
所以a_n=a₂+（n-2）d=2n-1  （4分）
由Tn=1-

1

2

bn得n=1时b1=

2

3

   
n≥2时bn=Tn-Tn-1=

1

2

bn-1-

1

2

bn（6分）
得bn=

1

3

bn-1所以bn=

2

3n

（8分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得cn=

3n•bn

anan+1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

∴s_n=c₁+c₂+c₃++c_n=(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=1-

1

2n+1

＜1(12分)
∴S_n＜1

点评：由数列前n项和求通项公式时，容易忽略n=1的情况；裂项求和也是重点方法，此题很好，属中档题．