Question

已知三边长分别为3、4、5的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC的体积为（　　）

A．5

B．10

C．20

D．30

Answer 1

分析：由题意可知△ABC为直角三角形，则其外接圆的圆心在AB的中点上，再由P到三个顶点的距离相等可得P在面ABC上的射影为球的球心，然后直接利用棱锥的体积公式求解．

解答：解：如图，
在△ABC中，不妨设AB=5，AC=3，BC=4．
则∠ACB=90°，∴△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，
即球的球心为AB的中点，
又P到△ABC的三个顶点的距离相等，
∴P在平面ABC上的射影到A、B、C的距离相等，
∴O为P在平面ABC上的射影，则OP⊥面ABC，
又P在球面上，∴OP为球的半径，∴OP=

5

2

．
∴VP-ABC=

1

3

S△ABC•OP=

1

3

×

1

2

×3×4×

5

2

=5．
故选：A．

点评：本题考查了棱锥的体积，考查了空间想象能力和思维能力，正确作出图形对解答有很好的帮助作用，是基础题．