Question

已知数列{a_n}满足S_n+a_n=2n+1．
（1）写出a₁，a₂，a₃，并推测a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论．

Answer 1

分析：（1）取n=1，2，3，分别求出a₁，a₂，a₃，然后仔细观察，总结规律，猜测a_n的值．
（2）用数学归纳法进行证明，①当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即a_k=2-

1

2k

，当n=k+1时，a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+a_k+1=2（k+1）+1，a_k+1=2-

1

2k+1

，当n=k+1时，命题成立．故a_n=2-

1

2n

都成立．

解答：解：（1）a₁=

3

2

，a₂=

7

4

，a₃=

15

8

，
猜测a_n=2-

1

2n

（2）①由（1）已得当n=1时，命题成立；
②假设n=k时，命题成立，即a_k=2-

1

2k

，
当n=k+1时，a₁+a₂+…+a_k+2a_k+1=2（k+1）+1，
且a₁+a₂+…+a_k=2k+1-a_k
∴2k+1-a_k+2a_k+1=2（k+1）+1=2k+3，
∴2a_k+1=2+2-

1

2k

，即a_k+1=2-

1

2k+1

，
即当n=k+1时，命题成立．
根据①②得n∈N⁺，a_n=2-

1

2n

都成立．

点评：本题考查数列的递推式，解题时注意数学归纳法的证明过程．