Question

当a+b＞0时，求证：log

1

2

(a+b)≥

1

2

log

1

2

(a2+1)+

1

2

log

1

2

(b2+1)．

Answer 1

证明：要证明log

1

2

(a+b)≥

1

2

log

1

2

(a2+1)+

1

2

log

1

2

(b2+1)成立，
只要证明：2log

1

2

(a+b)≥log

1

2

(a2+1)+log

1

2

(b2+1)
只要证log

1

2

(a+b)2≥log

1

2

(a2+1)(b2+1)    (a+b＞0)
由于函数y=log

1

2

x在区间(0，+∞)内是减函数，
∴只要证（a+b）²≤（a²+1）（b²+1）
即证a²+2ab+b²≤（a²+1）（b²+1）
即证a²b²-2ab+1≥0
即证（ab-1）²≥0上式显然成立∴原不等式成立．