Question

已知等比数列{a_n}中a₂，a₃，a₄分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a₁=1，公比q≠1，则a_n等于

1. A.
   2^1-n
2. B.
   2^2-n
3. C.
   2^n-1
4. D.
   2^n-2

Answer 1

A
分析：设出等差数列的公差为d，由等比数列{a_n}中a₂，a₃，a₄分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，根据等差数列的性质得到等差数列的第五项等于第三项加3d，第三项等于第二项加d，即a₂=a₄+3d，a₃=a₄+d，又a₂，a₃，a₄成等比数列，根据等比数列的性质得到a₃²=a₂•a₄，把表示出的a₂和a₃代入，整理后根据公差d不为0，用d表示出a₄，进而用d表示出a₂和a₃，根据等比数列的性质由求出公比q的值，再由首项a₁的值，利用等比数列的通项公式写出此等比数列的通项公式a_n即可．
解答：设公差为d，根据题意得：
∵等比数列{a_n}中a₂，a₃，a₄分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，
∴a₂=a₄+3d，a₃=a₄+d，
又a₂，a₃，a₄为等比数列{a_n}的项，
∴a₃²=a₂•a₄，即（a₄+d）²=（a₄+3d）a₄（d≠0），
整理得：a₄²+2da₄+d²=a₄²+3da₄，即d（d-a₄）=0，
解得：a₄=d，或d=0，
由公比q≠1，得到a₃≠a₄，即d≠0，故d=0舍去，
∴a₄=d，
∴a₂=4d，a₃=2d，
∴q===，又a₁=1，
则a_n=a₁•q^n-1==2^1-n．
故选A
点评：此题考查了等差、等比数列的性质，以及等比数列的通项公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．