题目内容
已知函数f（x）=
．
（1）判断f（x）在区间（0，+∞）的单调性，并用定义证明；
（2）写出函数f（x）=
的单调区间．
| 1 |
| x2 |
（1）判断f（x）在区间（0，+∞）的单调性，并用定义证明；
（2）写出函数f（x）=
| 1 |
| x2 |
分析：（1）f（x）在区间（0，+∞）为单调减函数，再利用减函数的定义进行证明．
（2）根据f（x）的解析式，直接写出单调区间．
（2）根据f（x）的解析式，直接写出单调区间．
解答：解：（1）f（x）在区间（0，+∞）为单调减函数．证明如下：
设0＜x1＜x2，f（x1）-f（x2）=
-
=
=
．
因为0＜x1＜x2，所以（x1x2）2＞0，x2-x1＞0，x2+x1＞0，即
＞0．
所以f（x1）-f（x2）＞0，即所以f（x1）＞f（x2），f（x）在区间（0，+∞）为单调减函数．
（2）f（x）=
的单调减区间（0，+∞）；f（x）=
的单调增区间（-∞，0）．
设0＜x1＜x2，f（x1）-f（x2）=
| 1 |
| x12 |
| 1 |
| x22 |
| x22-x12 |
| x12•x22 |
| (x2+x2)(x2-x1) |
| x12•x22 |
因为0＜x1＜x2，所以（x1x2）2＞0，x2-x1＞0，x2+x1＞0，即
| (x2+x2)(x2-x1) |
| x12•x22 |
所以f（x1）-f（x2）＞0，即所以f（x1）＞f（x2），f（x）在区间（0，+∞）为单调减函数．
（2）f（x）=
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x2 |
点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，属于中档题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=
，g（x）=1+
，若f（x）＞g（x），则实数x的取值范围是（ ）
| 1 |
| |x| |
| x+|x| |
| 2 |
| A、（-∞，-1）∪（0，1） | ||||
B、(-∞，-1)∪(0，
| ||||
C、(-1，0)∪(
| ||||
D、(-1，0)∪(0，
|