题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2，
（1）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列；
（2）在（1）的条件下证明数列{
}是等差数列，并求an．
（1）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列；
（2）在（1）的条件下证明数列{
| an | 2n |
分析：（1）因为Sn+1=4an+2，所以Sn=4an-1+2，（n≥2）．两式相减得出an+1=4（an-an-1），an+1-2an=2（an-2an-1），易证bn=an+1-2an，数列{bn}是等比数列．
（2）根据（1）{bn}是等比数列，可得{bn}的通项公式，从而证得数列{
}是首项为
，公差为
的等差数列，通过数列{
}的通项公式求出数列{an}的通项公式
（2）根据（1）{bn}是等比数列，可得{bn}的通项公式，从而证得数列{
| an |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| an |
| 2n |
解答：解：（1）因为Sn+1=4an+2，所以Sn=4an-1+2，（n≥2）．两式相减得出an+1=4（an-an-1），an+1-2an=2（an-2an-1）
又∵bn=an+1-2an∴bn=2bn-1
S2=4a1+2，a1+a2=4a1+2，a1=1，所以a2=5，
b1=a2-2a1=5-2×1=3，
∴{bn}是首项b1=3，公比等于2的等比数列．
（2）由（1）可得bn=3•2n-1，∴an+1-2an=3•2n-1，两边同除以2n+1
∴
-
=
，所以∴数列{
}是首项为
，公差为
的等差数列，
=
+(n-1)×
=
，
∴an=（3n-1）•2n-2．
又∵bn=an+1-2an∴bn=2bn-1
S2=4a1+2，a1+a2=4a1+2，a1=1，所以a2=5，
b1=a2-2a1=5-2×1=3，
∴{bn}是首项b1=3，公比等于2的等比数列．
（2）由（1）可得bn=3•2n-1，∴an+1-2an=3•2n-1，两边同除以2n+1
∴
| an+1 |
| 2n+1 |
| an |
| 2n |
| 3 |
| 4 |
| an |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| an |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3n-1 |
| 4 |
∴an=（3n-1）•2n-2．
点评：此题主要考查了等比数列的判断，通项公式求解．考查转化构造，运算求解能力．
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