Question

已知函数f（x）=㏒_ax（a＞0且a≠1），若数列2，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2n+4（n∈N^*）成等差数列
（1）求数列{a _n}的通项a _n；
（2）令b _n=a_nf（a_n），当a＞1时，判断数列{b_n}的单调性并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）先弄清数列2，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2n+4的项数，然后根据等差数列的通项公式求出d的值，从而求出数列{a_n}的通项；
（2）将a_n代入函数的解析式求出的b_n通项公式，然后根据条件判定b_n+1-b_n的符号，从而得到数列{b _n}的单调性．

解答：（1）解：∵数列2，f（a ₁），f（a ₂），…，f（a _n），2n+4（n∈N^*）成等差数列
∴2n+4=2+（n+1）d，∴d=2，
∴f（a_n）=2+2n=log_aa_n，
∴a_n=a²ⁿ⁺²
（2）数列{b _n}单调递增
证明：∵b _n=a_nf（a_n），
∴b_n=（2n+2）a²ⁿ⁺²，
则b_n+1=（2n+4）a²ⁿ⁺⁴，
∴b_n+1-b_n=（2n+4）a²ⁿ⁺⁴-（2n+2）a²ⁿ⁺²=a²ⁿ⁺²[（2n+4）a²-（2n+2）]
∵a＞1
∴a²＞1
∴（2n+4）a²-（2n+2）＞（2n+4）-（2n+2）=2＞0
∴b_n+1-b_n＞0即数列{b _n}单调递增．

点评：本题主要考查了数列的通项公式，以及数列与不等式的综合和数列的函数特性，同时考查了计算能力和转化的数学思想，属于中档题．