题目内容

已知a≥
12
，函数f（x）=-a2x2+ax+c（a，c∈R），对x∈[0，1]，均有f（x）≤1成立，则c的取值范围是
 
．
分析：首先求出函数的对称轴为x=x=
1
2a
，进而确定对称轴的范围为0＜
1
2a
≤1，只要函数的最小值小于等于1即f（
1
2a
）≤1，即可求出结果．
解答：解：∵函数f（x）=-a2x2+ax+c对称轴为x=
1
2a

∵a≥
1
2
，
∴0＜
1
2a
≤1
要使得f（x）在[0，1]上都满足f（x）≤1只需f（
1
2a
）≤1
∴c≤
3
4

故答案为：c≤
3
4
．
点评：本题考查了函数恒成立问题以及二次函数的特点，解题的关键是得出对称轴的范围，求出最值．属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知a∈R，函数f（x）=x2（x-a）．
（1）若函数f（x）在区间(0，
2
3
)内是减函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a）；
（3）对（2）中的h（a），若关于a的方程h(a)=m(a+
1
2
)有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．
已知x=-
1
2
是函数f（x）=ln（x+1）-x+
a
2
x2的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
已知a≥0，函数f(x)=a2+
2
cos(x-
π
4
)+
1
2
sin2x的最大值为
25
2
，则实数a的值是
12-2
2
12-2
2
．
已知a∈R，函数f(x)=
a
x
+lnx-1，g（x）=（lnx-1）ex+x．
（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值，若不存在，请说明理由；
（3）求证：(1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
)•
n
k=1
ln[k(k+1)(k+2)]＞(n-
1
4
)•ln
en
n!
      (n∈N*)．

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