题目内容
在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，设f（x）=a2x2-（a2-b2）x-4c2．
（1）若f(1)=0，且B-C=
，求角C的大小；
（2）若f（2）=0，求角C的取值范围．
（1）若f(1)=0，且B-C=
| π | 3 |
（2）若f（2）=0，求角C的取值范围．
分析：（1）由题意可得：a2-（a2-b2）-4c2=0，即可得到b=2c，根据正弦定理可得：sinB=2sinC，又B-C=
，可得sin(C-
)=0，再结合角C的范围求出答案即可．
（2）由题意可得：a2+b2=2c2，根据余弦定理可得：cosC=
=
再由2c2=a2+b2≥2ab可得ab≤c2，进而求出cosC的范围即可根据余弦函数求出角C的范围．
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（2）由题意可得：a2+b2=2c2，根据余弦定理可得：cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| c2 |
| 2ab |
解答：解：（1）由题意可得：f（1）=0，
∴a2-（a2-b2）-4c2=0，
∴b2=4c2，即b=2c，
∴根据正弦定理可得：sinB=2sinC．
又B-C=
，可得sin(C+
)=2sinC，
∴sinC•cos
+cosC•sin
=2sinC，
∴
sinC-
cosC=0，
∴sin(C-
)=0．
又-
＜C-
＜
，
∴C=
．
（2）若f（2）=0，则4a2-2（a2-b2）-4c2=0，
∴a2+b2=2c2，
∴根据余弦定理可得：cosC=
=
．
又2c2=a2+b2≥2ab，
∴ab≤c2．
∴cosC≥
∴0＜C≤
．
∴a2-（a2-b2）-4c2=0，
∴b2=4c2，即b=2c，
∴根据正弦定理可得：sinB=2sinC．
又B-C=
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴sinC•cos
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴sin(C-
| π |
| 6 |
又-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴C=
| π |
| 6 |
（2）若f（2）=0，则4a2-2（a2-b2）-4c2=0，
∴a2+b2=2c2，
∴根据余弦定理可得：cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| c2 |
| 2ab |
又2c2=a2+b2≥2ab，
∴ab≤c2．
∴cosC≥
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
点评：本题主要考查两角和与差的正弦函数，以及正弦定理与余弦定理等知识点，解决此类问题的关键是熟练掌握有关的公式与定理，并且进行正确的运算．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC+ccosA=b．则sinA+sinB的最大值是（ ）
A、
| ||||
| B、1 | ||||
C、
| ||||
D、
|