Question

方程sin²x-2sinx-a=0在x∈R上有解，则a的取值范围是

1. A.
   [-1，+∞）
2. B.
   （-1，+∞）
3. C.
   [-1，3]
4. D.
   [-1，3）

Answer 1

C
分析：由方程sin²x-2sinx-a=0在x∈R上有解，从方程形式上可以看出，可以将a表达成x的函数，再利用三角函数的有界性转化为二次函数在某个区间上的最值问题求解a的范围．
解答：方程sin²x-2sinx-a=0在x∈R上有解，可以转化为a=sin²x-2sinx，x∈R
故令t=sinx∈[-1，1]，则方程转化为
a=t²-2t，t∈[-1，1]，
此二次函数的对称轴为t=1，故 a=t²-2t在[-1，1]上是减函数，
∴-1≤t≤3，即a的取值范围是[-1，3]
故应选C．
点评：本题的考点是二次函数在闭区间上的最值．关于三角方程求解参数的问题，常利用其有界性转化为一元二次函数求参数．训练了数学的转化能力．