Question

已知函数f(x)=2

3

sinωxcosωx-2cos2ωx+1(x∈R，ω＞0)的周期为π．
（Ⅰ）利用五点作图法作出y=f（x）在x∈[0，π]一个周期上的图象；
（Ⅱ）当θ∈[0，

π

2

]时，若f（θ）=1，求θ值．

Answer 1

分析：（1）通过二倍角公式以及两角差的正弦函数化简函数为 一个角的一个三角函数的形式，直接利用函数的周期，求解函数的解析式，然后列表，画出函数的图象．
（2）利用函数的解析式通过f（θ）=1，以及θ的范围，直接求出θ的值．

解答：解：（1）f(x)=2

3

sinωxcosωx-2cos2ωx+1
=

3

sin2ωx-cosωx
=2sin（2ωx-

π

6

）．
∵T=

2π

|2ω|

=π，ω＞0，
∴ω=1．
∴f（x）2sin（2x-

π

6

）．
列表

函数的图象为：


（2）∵2sin（2θ-

π

6

）=1，
∴2sin（2θ-

π

6

）=

1

2

，
∵θ∈[0，

π

2

]，
∴2θ-

π

6

∈[-

π

6

， 

5π

6

]
∴2θ-

π

6

=

π

6

，或2θ-

π

6

=

5π

6

∴θ=

π

6

或θ=

π

2

．

点评：本题考查五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数的化简求值，正弦函数的定义域和值域，考查作图能力，计算能力．