题目内容

已知曲线C：f（x）=x²，C上的点A₀，A_n的横坐标分别为1和a_n（n∈N^），且a₁=5，数列{x_n}满足 $数学公式$ ，设区间D_n=[1，a_n]（a_n＞1），当x∈D_n时，曲线C上存在点P_n（x_n，f（x_n）），使得点P_n处的切线与直线A₀A_n平行．
（1）证明：{log_t（x_n-1）+1}是等比数列；
（2）当D_n+1?D_n对一切n∈N^恒成立时，求t的取值范围；
（3）记数列{a_n}的前n项和为S_n，当 $数学公式$ 时，试比较S_n与n+7的大小，并证明你的结论．

解：（1）∵由线在点P_n的切线与直线AA_n平行，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
由x_n+1=tf（x_n+1-1）+1，得x_n+1-1=t（x_n-1）²，
∴log_t（x_n+1-1）=1+2log_t（x_n-1），
即log_t（x_n+1-1）+1=2[log_t（x_n-1）+1]，
∴{log_t（x_n-1）+1}是首项为log_t2+1，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得log_t（x_n-1）+1=（log_t2+1）•2^n-1，
∴ $\text{[math]}$ ．
从而 $\text{[math]}$ ，
由D_n+1?D_n对一切n∈N^*恒成立，
得a_n+1＜a_n，
即 $\text{[math]}$ ，
∴0＜2t＜1，
即 $\text{[math]}$ ．
（3）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
当n≤3时，2^n-1≤n+1；
当n≥4时，2^n-1＞n+1，
∴当n≤3时， $\text{[math]}$ ＜n+7．
当n≥4时，S_n＜ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
＜n+7．
综上所述，对任意的n∈N^*，都有S_n＜n+7．
分析：（1）由线在点P_n的切线与直线AA_n平行，知 $\text{[math]}$ ，由x_n+1=tf（x_n+1-1）+1，得x_n+1-1=t（x_n-1）²，由此能够证明{log_t（x_n-1）+1}是等比数列．
（2）由log_t（x_n-1）+1=（log_t2+1）•2^n-1，得 $\text{[math]}$ ．从而 $\text{[math]}$ ，由D_n+1?D_n对一切n∈N^*恒成立，得a_n+1＜a_n，由此能求出t的取值范围．
（3）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，由此能够比较比较S_n与n+7的大小．
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．