Question

13．（x²+2）（$\frac{1}{{x}^{2}}$-mx）⁵的展开式中x²项的系数490，则实数m的值为±$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 （x²+2）（$\frac{1}{{x}^{2}}$-mx）⁵的展开式中x²项是由（$\frac{1}{{x}^{2}}$-mx）⁵的展开式中常数项与x²项所组成的，求出（$\frac{1}{{x}^{2}}$-mx）⁵的展开式的常数项以及x²项的系数即可．

解答 解：（x²+2）（$\frac{1}{{x}^{2}}$-mx）⁵的展开式中x²项是由（$\frac{1}{{x}^{2}}$-mx）⁵的展开式中常数项与x²项所组成的，
∵（$\frac{1}{{x}^{2}}$-mx）⁵的展开式的通项公式为：T_r+1=${C}_{5}^{r}$•${（\frac{1}{{x}^{2}}）}^{5-r}$•（-mx）^r=（-m）^r•${C}_{5}^{r}$•x^3r-10；
令3r-10=0，解得r=$\frac{10}{3}$，不合题意，应舍去；
令3r-10=2，解得r=4，
∴（x²+2）（$\frac{1}{{x}^{2}}$-mx）⁵的展开式中x²项的系数为
2•（-m）⁴•${C}_{5}^{4}$=490，
即m⁴=49，
解得m=±$\sqrt{7}$．
故答案为：±$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了多项式乘法运算问题，是基础题目．