Question

三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC．
（Ⅰ）证明：平面PAB⊥平面PBC；
（Ⅱ）若PA=

6

，PC=3，PB与底面ABC成60°角，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAB，再利用面面垂直的判定定理证明平面PAB⊥平面PBC；
（Ⅱ）计算AB，AC，BC的值，利用三棱锥的体积公式，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）证明：∵三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，PA∩AB=A
∴BC⊥平面PAB
∵BC?平面PBC
∴平面PAB⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：∵三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PB与底面ABC成60°角，
∴∠PBA=60°
∵PA=

6

，PC=3，
∴AB=

2

，AC=

3

∴BC=1
∴三棱锥P-ABC的体积为

1

3

×

1

2

×

2

×1×

6

=

3

3

．

点评：本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．