Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和．S_n=n²
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）设

bn

an

是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b_n}的通项公式及其前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用a₁=S₁，n≥2时，a_n=s_n-s_n-1即可求解
（2）由（1）可求b_n，然后利用错位相减求和即可求解

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1，
当n＞1时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
当n=1时，满足上式．
即数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1．
（2）因为数列{

bn

an

}是首项为1，公比为3的等比数列，所以

bn

an

=1×3n-1，
即bn=an×3n-1=(2n-1)3n-1．
T_n=b₁+b₂+…+b_n=1×1+3×3+…+（2n-1）3^n-1，①
3Tn=1×3+3×32+…+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n．②
两式相减可得得：

-2Tn=1+2(3+32+…+3n-1)-(2n-1)3n=1+2× 3-3n 1-3 -(2n-1)3n =1+3n-3-(2n-1)3n=-2-(2n-2)3n，即Tn=1+(n-1)3n

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及数列的错位相减求和方法的应用．