Question

点P（x₀,y₀）在椭圆1(a>b>0)上，x_0=, y_0=.  直线与直线： 垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.

（Ⅰ）证明：点P是椭圆 与直线的唯一交点；

（Ⅱ）证明：tan,tan,tan构成等比数列。

Answer 1

（I）（方法一）由得代入椭圆,

得.

将代入上式,得从而

因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.      

(方法二)显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得

即故P与Q重合。

（方法三）在第一象限内，由可得

椭圆在点P处的切线斜率

切线方程为即。

因此，就是椭圆在点P处的切线。

根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。

（II）的斜率为的斜率为

由此得构成等比数列。

解析:

本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。