Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则

2010

n=1

1

f(n)

=

 

．

Answer 1

分析：令y=1，找到f（n+1）和f（n）之间的关系，然后累加，求得f（n）的表达式，进而求得

1

f(n)

的表达式，仔细观察该式的特点，进行裂项，这样的话就能够发现再次累加就能够求得所求表达式的值．

解答：解：令y=1得f（x+1）=f（x）+2x+2，
      即f（n+1）=f（n）+2n+2，
      故f（2）-f（1）=2×1+2，
        f（3）-f（2）=2×2+2
        …
        f（n）-f（n-1）=2（n-1）+2
      以上n-1个式子相加得：
          f（n）-f（1）=2[1+2+3+…+（n-1）]+2n=n（n-1）+2n     
      所以 f（n）=2[1+2+3+…+（n-1）]+2n+2=n（n-1）+2n+2=n（n+1） 
      所以 

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

     

故 2010 n=1 1 f(n) =(1- 1 2 )+( 1 2 - 1 3 )+ +( 1 2010 - 1 2011 )=1- 1 2011 = 2010 2011 ． 故答案为： 2010 2011

点评：本题具有抽象函数题目的一般特点，往往给出一个该抽象函数满足的一个式子，关键点就是仔细观察式子的特点，根据题目的条件适当的对变量进行赋值，发现函数很好的特点，找出思路，从而解决问题．该题还利用了数列里面经常用到的累加法，以及裂项等非常重要的方法，不失为一个好题．