Question

设F₁，F₂分别是椭圆E：x²+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F₁的直线l与E相交于A、B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列．
（Ⅰ）求|AB|；
（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆定义知|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4，再由|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，能够求出|AB|的值．
（2）L的方程式为y=x+c，其中，设A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b²）x²+2cx+1-2b²=0．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小．
解答：解：（1）由椭圆定义知|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4
又2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，得
（2）L的方程式为y=x+c，其中
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A，B两点坐标满足方程组．，
化简得（1+b²）x²+2cx+1-2b²=0．
则．
因为直线AB的斜率为1，所以
即．
则．
解得．
点评：本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．