Question

已知函数f（x）=ax³+bx²lnx，若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[

1

e

，e]上的单调区间和最值；
（3）若存在实数m∈[-2，2]，函数g（x）=

2

3

x3lnx-

2

9

x³-（2m+n）x在（1，e）上为单调减函数，求实数n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意利用导数的几何意义可得

f′(1)=3a+b=2 f(1)=a=0

，解得a，b即可．
（2）利用导数的运算法则可得f′（x）．令f′（x）=0，解得x． 分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0，列出表格即可得出其单调区间及其最值．
（3）求出g′（x），由题意可知g（x）在（1，e）上为单调减函数，可得：g′（x）≤0恒成立，即2m+n≥2x²lnx．于是2m+n≥(2x2lnx)max=2e2．可得n≥-2m+2e²．由存在实数m∈[-2，2]，使得上式成立，可得n≥（-2m+2e²）_min，即可得出n的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²+2bxlnx+bx，（x＞0）．
∵f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2，
∴

f′(1)=3a+b=2 f(1)=a=0

，解得

a=0 b=2

，
∴f（x）=2x²lnx．
（2）由（1）可知：f′（x）=4xlnx+2x=2x（2lnx+1），令f′（x）=0，解得x=e-

1

2

．

x	[ 1 e ， 1 e )	1 e	( 1 e ，e]
f′（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：f（x）在[

1

e

，e]上的单调递增区间为(

1

e

，e]，单调递减区间为[

1

e

，

1

e

)．
最小值为f(

1

e

)=-

1

e

，
又f(

1

e

)=-

2

e2

，f（e）=2e²，故最大值为2e²．
（3）g′(x)=2x2lnx+

2x2

3

-

2x2

3

-(2m+n)，
由题意可知g（x）在（1，e）上为单调减函数，∴g′（x）≤0恒成立，即2x²lnx-（2m+n）≤0，
∴2m+n≥2x²lnx．
∴2m+n≥(2x2lnx)max=2e2．
∴n≥-2m+2e²．
∵存在实数m∈[-2，2]，使得上式成立，∴n≥（-2m+2e²）_min=-4+2e²，
∴n的取值范围是[-4+2e²，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线方程、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能，属于难题．