题目内容

已知函数f（x）=1-2sin² $数学公式$ +sinx，若x₀∈（ $数学公式$ ），且f（x₀） $数学公式$ ，则f（x₀+ $数学公式$ ）=________．

$\text{[math]}$
分析：把函数解析式前两项利用二倍角的余弦函数公式化简，由f（x₀）的值，得到sinx₀+cosx₀的值，利用同角三角函数间的基本关系变形可得出sinx₀-cosx₀的值，两者联立求出sinx₀和cosx₀的值，然后把所求式子中的自变量的值代入化简后的解析式中，利用两角和与差的正弦、余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将求出sinx₀和cosx₀的值代入即可求出值．
解答：函数f（x）=1-2sin² $\text{[math]}$ +sinx
=cosx+sinx，又f（x₀）= $\text{[math]}$ ，
化简得：sinx₀+cosx₀= $\text{[math]}$ ①，又sin²x₀+cos²x₀=1，
∴（sinx₀+cosx₀）²=sin²x₀+2sinx₀cosx₀+cos²x₀= $\text{[math]}$ ，
即2sinx₀cosx₀=- $\text{[math]}$ ，
∴（sinx₀-cosx₀）²=sin²x₀-2sinx₀cosx₀+cos²x₀=1+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵x₀∈（ $\text{[math]}$ ），∴sinx₀＞cosx₀，
∴sinx₀-cosx₀= $\text{[math]}$ ②，
联立①②解得：sinx₀= $\text{[math]}$ ，cosx₀=- $\text{[math]}$ ，
则f（x₀+ $\text{[math]}$ ）=cos（x₀+ $\text{[math]}$ ）+sin（x₀+ $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ cosx₀+ $\text{[math]}$ sinx₀= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$
点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系的运用，两角和与差的正弦、余弦函数公式，函数的值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式，灵活运用基本关系是解本题的关键．