Question

已知两个非零向量，且与的夹角是钝角或直角，则m+n的取值范围是（ ）
A．
B．[2，6]
C．
D．（2，6）

Answer 1

【答案】分析：由题意得，≤0，（m-2）²+（n-2）²≤2，点（m，n）在以（2，2）为圆心，以为半径的圆面上，
包含圆，但不包括直线y=x与圆的2个交点，令m≤2+cosθ，n≤2+sinθ，则m+n=4+2sin（θ+），
由sinθ和cosθ 不能相等或相反，可得-1＜sin（θ+）＜1，从而求得m+n 的范围．
解答：解：∵与的夹角是钝角或直角，∴≤0，∴（m-1）（m-3）+（n-1）（n-3）≤0，
即 （m-2）²+（n-2）²≤2，故点（m，n）在以（2，2）为圆心，以为半径的圆面上，
包含圆，但不包括直线y=x与圆的2个交点（否则两个向量共线）．
可令m≤2+cosθ，n≤2+sinθ，则 sinθ和cosθ 不能相等或相反，∴-1＜sin（θ+）＜1，
∴m+n=4+2sin（θ+）∈（2，6），
故选D．
点评：本题考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，正弦函数的值域，得到（m-2）²+（n-2）²≤2，是解题的关键．