Question

已知函数.

（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；

（2）用定义证明函数在区间上为增函数；

（3）若函数在区间上的最大值与最小值之和不小于，求的取值范围.

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）[4,+∞).

【解析】

试题分析：（1）利用奇偶性定义可证；（2）利用单调性定义可证；（3）在单调递增区间内，由题意可得关于的不等式，解不等式即可.

试题解析：

【解析】
（1）函数是奇函数， 1分

∵函数的定义域为，在轴上关于原点对称， 2分

且， 3分

∴函数是奇函数. 4分

（2）证明：设任意实数，且， 5分

则， 6分

∵ ∴， 7分

∴<0 ， 8分

∴<0,即， 9分

∴函数在区间上为增函数. 10分

（3）∵，

∴函数在区间上也为增函数. 11分

∴， 12分

若函数在区间上的最大值与最小值之和不小于，

则， 13分

∴，

∴的取值范围是[4,+∞). 14分

考点：函数的单调性，奇偶性，最值.