Question

已知函数f（x）=

(x+2)[1+ 1 2 ln(x+2)]

x

+x，（x＞0）
（1）设f（x）在x₀处取得极值，且x₀∈（n，n+1），n∈Z，求n的值，并说明x₀是极大值点还是极小值点；
（2）求证：f（x₀）∈（5，7）

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导，根据f（x）在x₀处取得极值，可得f′（x₀）=0，利用零点定理证明f′（x）=0在（1，2）内有解，令g（x）=x²+

1

2

x-2-ln（x+2），利用其导数研究，从而就那些求解；
（2）要证明f（x₀）∈（5，7），证明f（x）的值域在（5，7），对f（x）进行求导，求出极值，研究其最值问题，从而进行证明；

解答：解：（1）∵函数f（x）=

(x+2)[1+ 1 2 ln(x+2)]

x

+x （x＞0）
∴f′（x）=1+

1

2x

-

2

2x

-

ln(x+2)

x2

=

x2+ 1 2 x-2-ln(x+2)

x2

，
f′（1）=1+

1

2

-2-ln3=-

1

2

-ln3＜0，
f′（2）=1+

1

4

-

1

2

-

ln4

4

=

3-ln4

4

=

ln e3 4

4

＞0，
∴f′（x）=0在（1，2）内有解，
g（x）=x²+

1

2

x-2-ln（x+2），
g′（x）=2x+

1

2

-

1

x+2

=

2x2+ 9 2 x

x+2

＞0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，∴g（x）=0，在（0，+∞）只有1解，
∴f′（x）=0，（0，+∞）只有一解x₀，且x₀∈（1，2）
即n=1；
又x＜x₀时，f′（x）＜0，x＞x₀，f′（x）＞0
∴x₀为极小值点；
（2）f（x₀）=

(x0+2)[1+ 1 2 ln(x0+2)]

x0

+x0
∵f′（x）=0，
∴x₀²+

1

2

x₀-2-ln（x₀+2）=0
得：ln（x₀+2）=x₀²+

1

2

x₀-2
∴f（x₀）=

(x0+2)[1+ 1 2 (x 2 0 + 1 2 x0-2)]

x0

+x0=

1

2

x

2 0

+

9

4

x₀+

1

2

=h（x₀）
其中x₀∈（1，2）中h（x）单调递增
h（1）=

1

2

+

9

4

+

1

2

=

13

4

，h（2）=

1

2

×2²+

9

4

×2+

1

2

=7
又∵f′（

3

2

）=

9 4 + 3 4 -2-ln 7 2

9 4

=

4

9

（1-ln

7

2

）＜0
由二分法知：x₀∈（

3

2

，2）…（12分）
f（

3

2

）=

1

2

×（

3

2

）²+

9

4

×

3

2

+

1

2

=5，h（2）=7；
∴f（x₀）∈（5，7）；

点评：此题主要考查函数在某点取得极值的条件，考查的知识点比较全面，综合性比较强，是一道中档题，也是高考的热点问题；