Question

（2012•云南模拟）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为

1

n

（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如

1

1

=

1

2

+

1

2

，

1

2

=

1

3

+

1

6

，

1

3

=

1

4

+

1

12

，…，则第10行第3个数（从左往右数）为

1

360

．

Answer 1

分析：根据“莱布尼兹调和三角形”的特征，每个数是它下一个行左右相邻两数的和，得出将杨辉三角形中的每一个数C_n^r都换成分数 

1

(n+1 )C r n

，就得到一个莱布尼兹三角形，从而可求出第n（n≥3）行第3个数字，进而可得第10行第3个数．

解答：解：将杨晖三角形中的每一个数C_n^r都换成分数 

1

(n+1)C r n

，就得到莱布尼兹三角形．
∵杨晖三角形中第n（n≥3）行第3个数字是C_n-12，
则“莱布尼兹调和三角形”第n（n≥3）行第3个数字是

1

nC 2 n-1

=

2

n×(n-1)×(n-2)

，
∴第10行第3个数

2

10×9×8

=

1

360

．
故答案为：

1

360

．

点评：本题考查归纳推理，解题的关键是通过观察分析归纳各数的关系，考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题．