Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），C的右焦点F（1，0），长轴的左、右端点分别为A₁，A₂，且

.

FA1

•

FA2

=-1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过焦点F斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点D．试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）依题设A₁（-a，0），A₂（a，0），则

FA1

=(-a-1，0)，

FA2

=(a-1，0)．
由

FA1

•

FA2

=-1，得：（-a-1）（a-1）=-1，解得a²=2，又c=1，所以b²=1．
所以椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形．
事实上，依题直线l的方程为y=k（x-1）．
联立

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得：（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中点为M（x₀，y₀），
则x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2(k2-1)

2k2+1

，
所以x0=

x1+x2

2

=

2k2

2k2+1

，y0=k(x0-1)=k(

2k2

2k2+1

-1)=

-k

2k2+1

，
所以M(

2k2

2k2+1

，

-k

2k2+1

)．
则直线MD的方程为y+

k

2k2+1

=-

1

k

(x-

2k2

2k2+1

)，
令y=0，得xD=

k2

2k2+1

，则D(

k2

2k2+1

，0)．
若四边形ADBE为菱形，则x_E+x_D=2x₀，所以xE=2x0-xD=

4k2

2k2+1

-

k2

2k2+1

=

3k2

2k2+1

．
y_E+y_D=2y₀，所以yE=2y0-yD=

-2k

2k2+1

．
所以E(

3k2

2k2+1

，

-2k

2k2+1

)．
若点E在椭圆C上，则(

3k2

2k2+1

)2+2(

-2k

2k2+1

)2=2．
即9k⁴+8k²=2（2k²+1）²
整理得k⁴=2，解得k2=

2

．
所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．
此时点E到y轴的距离为

3 2

2 2 +1

=

3 2 (2 2 -1)

7

=

12-3 2

7

．