题目内容

设x₁，x₂是函数f（x）= $数学公式$ x³+ $数学公式$ x²-a²x（a＞0）的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=1．
（1）证明：0＜a≤ $数学公式$ ；
（2）证明：|b|≤ $数学公式$ ；
（3）设g（x）=f′（x）-a（x-x₁），x₁＜x＜1，x₁＜0，求证：|g（x）|≤a．

解：（1）证明：∵x₁，x₂是f（x）= $\text{[math]}$ 的两个极值点，
∴x₁，x₂是f′（x）=ax²+bx-a²的两个根，
∴x₁x₂=-a，…（2分）
∴由条件|x₁|+|x₂|=1及基本不等式可得
2 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．…（5分）
（2）由条件可得x₁²+x₂²+2|x₁x₂|=1，
即（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=1，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴b²=（1-4a）a²，
令h（a）=（1-4a）a²=-4a³+a²，
则h′（x）=-2a（6a-1）．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 时，h′（a）＞0；
$\text{[math]}$ 时，h′（a）＜0．
∴h（a）在a= $\text{[math]}$ 处取得最大值 $\text{[math]}$ ，
而 $\text{[math]}$ ，
故h（a）在[0， $\text{[math]}$ ]上的最大值为 $\text{[math]}$ ，
也就是在（0， $\text{[math]}$ ]上的最大值为 $\text{[math]}$ ，此时a= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，即|b|≤ $\text{[math]}$ ． …（10分）
（3）g（x）=f′（x）-a（x-x₁）（x-x₂）-a（x-x₁）（x-x₂-1）（12分）
由条件x-x₁＞0，
∵x₁x₂=-a＜0，x₁＜0，
∴x₂＞0，x＜1，
∴x-x₂-1＜0，
∴|g（x）|=a（x-x₁）（1+x₂-x）
≤ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∵|x₁|+|x₂|=x₂-x₁=1，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由x₁，x₂是f（x）= $\text{[math]}$ 的两个极值点，知x₁，x₂是f′（x）=ax²+bx-a²的两个根，由此入手能够证明0＜a≤ $\text{[math]}$ ．
（2）由x₁²+x₂²+2|x₁x₂|=1，知b²=（1-4a）a²，令h（a）=（1-4a）a²=-4a³+a²，得到h′（x）=-2a（6a-1）．由此能够证明|b|≤ $\text{[math]}$ ．
（3）g（x）=f′（x）-a（x-x₁）（x-x₂）-a（x-x₁）（x-x₂-1），由x-x₁＞0，x₁x₂=-a＜0，x₁＜0，知x₂＞0，x＜1，x-x₂-1＜0，由此能够证明|g（x）|≤a．
点评：本题考查导数在最大值、最小值中的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．