Question

 已知函数f(x)＝x³－2ax²＋3x(x∈R)．

(1)若a＝1，点P为曲线y＝f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；

(2)若函数y＝f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.

Answer 1

解析：(1)设切线的斜率为k，

则k＝f′(x)＝2x²－4x＋3＝2(x－1)²＋1，

当x＝1时，k_min＝1.又f(1)＝，

所以所求切线的方程为y－＝x－1，

即3x－3y＋2＝0.

(2)f′(x)＝2x²－4ax＋3，要使y＝f(x)为单调递增函数，

必须满足f′(x)＞0，即对任意的x∈(0，＋∞)，恒有f′(x)＞0，f′(x)＝2x²－4ax＋3＞0，

∴a＜＝＋，而＋≥，

当且仅当x＝时，等号成立．

所以a＜，

所求满足条件的a值为1.