题目内容
设数列{an}满足an=2an-1+1（n≥2），且a1=1，bn=log2（an+1）（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{
}的前n项和为Sn，证明：
．
【答案】分析：（1）由已知可得an+1=2（an-1+1），数列{an+1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，即可求数列{an}的通项公式；
（2）先求bn，代入，再利用裂项求和方法即可证明．
解答：（1）解：因为an=2an-1+1（n≥2），所以an+1=2（an-1+1）（n≥2），
所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
所以an+1=2•2n-1=2n．
所以an=2n-1…（4分）
（2）证明：因为an=2n-1，所以bn=log2（an+1）=n…（6分）
所以
=
（
）．…（8分）
所以Sn=
（
…+
+
）=
=
＜
．…（12分）
点评：本题主要考查了等比数列的判断与证明，等比数列的通项公式及裂项求和方法的应用，属于中档题．
（2）先求bn，代入，再利用裂项求和方法即可证明．
解答：（1）解：因为an=2an-1+1（n≥2），所以an+1=2（an-1+1）（n≥2），
所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
所以an+1=2•2n-1=2n．
所以an=2n-1…（4分）
（2）证明：因为an=2n-1，所以bn=log2（an+1）=n…（6分）
所以
=（）．…（8分）所以Sn=
（…++）==
＜．…（12分）点评：本题主要考查了等比数列的判断与证明，等比数列的通项公式及裂项求和方法的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1?cosx-an+2sinx满足f′(
)=0若cn=an+
，则数列{cn}的前n项和Sn为（ ）
| π |
| 2 |
| 1 |
| 2an |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|