Question

已知函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω，0，|φ|＜

π

2

）的图象如图所示
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）最小正周期以及使f（x）取最小值的x的集合；
（3）求f（x）的单调递增区间和递减区间．

Answer 1

分析：（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数的解析式．
（2）由f（x）最小正周期为

2π

ω

，运算求得结果，要使f（x）取最小值，需sin（

2

3

x+

π

3

）=-1，故

2

3

x+

π

3

=2kπ-

π

2

，k∈z，由此求得使f（x）取最小值的x的集合．
（3）令2kπ-

π

2

≤（

2

3

x+

π

3

）≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．令2kπ+

π

2

≤（

2

3

x+

π

3

）≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的减区间．

解答：解：（1）由函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω，0，|φ|＜

π

2

）的图象可得A=2，由

1

2

•T=

1

2

•

2π

ω

=

7π

4

-

π

4

=

3π

2

，∴ω=

2

3

．
再由五点法作图可得 

2

3

×

π

4

+φ=

π

2

，∴φ=

π

3

，故函数y=2sin（

2

3

x+

π

3

）．
（2）由（1）可得f（x）最小正周期为

2π

ω

=

2π

2 3

=3π．
要使f（x）取最小值，有sin（

2

3

x+

π

3

）=-1，故

2

3

x+

π

3

=2kπ-

π

2

，k∈z，解得 x=3kπ-

5π

4

，
故使f（x）取最小值的x的集合为 {x|x=3kπ-

5π

4

，k∈z}．
（3）令2kπ-

π

2

≤（

2

3

x+

π

3

）≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得3kπ-

5π

4

≤x≤3kπ+

π

4

，故函数的增区间为[3kπ-

5π

4

，3kπ+

π

4

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤（

2

3

x+

π

3

）≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得3kπ+

π

4

≤x≤3kπ+

7π

4

，故函数的增区间为[3kπ+

π

4

，3kπ+

7π

4

]，k∈z．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+∅）的周期性与求法，求得函数y=Asin（ωx+∅）的单调区间与最值，属于中档题．