Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，a₂=6
（1）对于任意的正自然数n，设点在直线E上，求直线E的方程；
（2）设数列{b_n}，其中a_nb_n=2，问从{b_n}中是否能选出无穷项，按原来的顺序排成等比数列{c_n}，使{c_n}的各项和等于？若能，请说明理由并求出数列{c_n}的第一项和公比，若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）a_n=4n-2，S_n=2n²，n∈N^*，所以P_n（4n-2，2n-3），由此能求出曲线E的方程．
（2），假设存在一个等比数列{c_n}：设其首项为，第二项为，则公比为q==，由此可知存在唯一的等比数列{c_n}，首项为，公比为=．
解答：解：（1）a_n=4n-2，S_n=2n²，n∈N^*（2分）
所以P_n（4n-2，2n-3）
设P_n（x，y），则，
得x-2y-4=0即为曲线E的方程 （4分）
（2），假设存在一个等比数列{c_n}：设其首项为，（r∈N*）
第二项为，（s∈N*，r＜s），（5分）
则公比为q==，0＜q＜1，（6分）
所以得（7分）
所以==）
因为r、s∈N*，
所以存在唯一的r=2，s=5（9分）
所以存在唯一的等比数列{c_n}，
首项为，
公比为=（11分）
点评：本题考查不等式和数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．