Question

如图,已知椭圆的左,右焦点分别为,下顶点为,点是椭圆上任一点,圆是以为直径的圆.

(1)当圆的面积为时,求所在直线的方程;

(2)当圆与直线相切时,求圆的方程;

(3)求证: 圆与以为圆心以椭圆半长轴为半径的圆相切.

Answer 1

解：⑴易知，，  设点，

则，

又⊙的面积为，所以  解得  

故所在直线的方程为或           5分

⑵直线的方程为，且到直线的距离为：

  化简得

联立方程组  解得或

当时， 可得，   ⊙的方程为

当时，可得， ⊙的方程为；10分

⑶⊙始终和以原点为圆心，半径为（长半轴）的圆（记作⊙）相切．

证明：，

又⊙的半径，

，即⊙与⊙相切．14分

（3）法二  ，∴,∴

∴⊙总与以原点为圆心以椭圆半长轴为半径的圆相内切