题目内容
已知函数f(x)=
ax3+ax2-x+10在区间[1，2]上不是单调函数，则a的范围为
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(
，
)
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，
)
．| 1 |
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分析：求出导函数，将不单调转化为在区间上有极值，转化为导函数在区间上有解且解的两边的导函数值相反，据导函数的对称轴在区间的左侧，得到导函数在区间两个端点的函数值相反，列出不等式求出a的范围．
解答：解：f′（x）=ax2+2ax-1
∵f（x）在区间[1，2]上不是单调函数
∴f（x）在区间[1，2]上有极值，
当a=0时，f′（x）=-1＜0，
此时f（x）为单调递减函数，不合题意；
当a≠0时，
∵f′（x）=ax2+2ax-1的对称轴为x=-1
∴ax2+2ax-1=0在区间[1，2]上只有一个根
∴f′（1）•f′（2）＜0即（3a-1）（8a-1）＜0
解得
＜x＜
故答案为(
，
)
∵f（x）在区间[1，2]上不是单调函数
∴f（x）在区间[1，2]上有极值，
当a=0时，f′（x）=-1＜0，
此时f（x）为单调递减函数，不合题意；
当a≠0时，
∵f′（x）=ax2+2ax-1的对称轴为x=-1
∴ax2+2ax-1=0在区间[1，2]上只有一个根
∴f′（1）•f′（2）＜0即（3a-1）（8a-1）＜0
解得
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故答案为(
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点评：解决函数不单调常转化为解决函数有极值，解决函数有极值转化为导函数有根且根的两边的符号相反．属于基础题．
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