Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E是正方形BCC₁B₁的中心，点F、G分别是棱C₁D₁，AA₁的中点。设点E₁，G₁分别是点E，G在平面DCC₁D₁内的正投影，
（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC₁D₁内的正投影为底面边界的棱锥的体积；
（2）证明：直线FG₁⊥平面FEE₁；
（3）求异面直线E₁G₁与EA所成角的正弦值。

Answer 1

解：（1）依题作点E、G在平面内的正投影，
则分别为的中点，
连接，
则所求为四棱锥的体积，
其底面面积为，
又，
∴。

（2）以D为坐标原点，所在直线分别作x轴，y轴，z轴，
得，
又，
则，
∴，
即，

∴。
（3），
则，
设异面直线E₁G₁与EA所成角为θ，
则。