Question

已知：函数f（x）=x²-bx+3，且f（0）=f（4）
（Ⅰ）求函数y=f（x）的零点；
（Ⅱ）求出满足条件f（x）＜0的x的集合；
（Ⅲ）求函数y=f（x）在区间[0，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=f（4）求出f（x）的解析式，从而求出f（x）的零点；
（2）由f（x）＜0，解不等式，得出f（x）＜0的解集；
（3）由函数f（x）的图象是抛物线，且开口向上，可以得出f（x）在[0，3]上的最值．

解答：解：（1）∵f（0）=f（4），
∴3=16-4b+3，
∴b=4；
∴f（x）=x²-4x+3，
令f（x）=0，则x²-4x+3=0，
∴x₁=1，x₂=3；
∴函数f（x）的零点为1，3，
（2）∵f（x）＜0，
∴x²-4x+3＜0，
解得：1＜x＜3；
∴f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}；
（3）∵函数f（x）=x²-4x+3的图象对称轴为x=2，且开口向上；
∴f（x）在[0，3]上的最小值为f（2）=-1，
∴f（x）的最大值为f（0）=3．

点评：本题考查了二次函数的图象与性质以及零点的知识，是基础题．