题目内容

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为3的正方体，点E在AA₁上，点F在CC₁上，且AE=FC₁=1，
（1）求证：E，B，F，D₁四点共面；
（2）求点B₁到平面EBFD₁的距离；
（3）用θ表示截面EBFD₁和面BCC₁B₁所成锐二面角大小，求tanθ．

解：（1）证明：如图：在DD₁上取一点N使得DN=1，
连接CN，EN，则AE=DN=1．CF=ND₁=2、
因为CF∥ND₁，

所以四边形CFD₁N是平行四边形，
所以D₁F∥CN．
同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN=AD，
又BC∥AD，且AD=BC，所以EN∥BC，EN=BC，
所以四边形CNEB是平行四边形，
所以CN∥BE，
所以D₁F∥BE，
所以E，B，F，D₁四点共面．
（2）设向量 $\text{[math]}$ ，并且与截面EBFD₁垂直，所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
取z=3得x=1，y=2，所以 $\text{[math]}$ ．
又因为 $\text{[math]}$ ，
所以点B₁到平面EBFD₁的距离为：d= $\text{[math]}$ ．
（3）由（2）知 $\text{[math]}$ 是平面EBFD₁的一个法向量，
又 $\text{[math]}$ 平面BCC₁B₁，所以 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的夹角等于θ或π-θ（θ为锐角）．
所以cosθ $\text{[math]}$ ．故tanθ= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）四点共面问题通常我们将它们变成两条直线，然后证明这两条直线平行或相交，根据公理3的推论2、3可知，它们共面．
（2）先求出平面的法向量，再求出平面的斜线BB₁所在的向量在法向量上的射影即可．
（3）分别求出两个平面的法向量，再根据两个向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角的余弦值求出答案即可．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，结合有关定理进行证明即可，并且也有利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离等问题．