Question

设向量

a

=(mx+m-1，-1)，

b

=(x+1，y)，m∈R，且

a

⊥

b

（1）把y表示成x的函数y=f（x）；
（2）若tanA，tanB是方程f（x）+2=0的两个实根，A，B是△ABC的两个内角，求tanC的取值范围．

Answer 1

（1）∵向量

a

=(mx+m-1，-1)，

b

=(x+1，y)，m∈R，且

a

⊥

b

∴[m（x+1）-1]（x+1）-y=0     2’
y=f（x）=mx²+（2m-1）x+m-1        4’
（2）由题意A，B是△ABC的两个内角
∴tanC=-tan（A+B）
∵tanA，tanB是方程f（x）+2=0的两个实根
∴△≥0?m≤

1

8

         8’
tanA+tanB=

1-2m

m

，tanAtanB=

m+1

m

∴tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=2m-1  
∴tanC=1-2m           9’
A，B是三角形的内角，至多一个为钝角，tanA，tanB中至多有一个取负值，且都不为零
若都为正，由韦达定理tanA+tanB=

1-2m

m

＞0，得0＜m＜

1

2

，又m≤

1

8

，可得0＜m≤

1

8

，故有tanC=1-2m∈[

3

4

，1) 10’
若一正一负，由韦达定理tanAtanB=

m+1

m

＜0，可得-1＜m＜0，故有tanC∈（1，3）11’
综上 tanC∈[

3

4

，1)∪(1，3)      12’