题目内容

设 $数学公式$ ，则函数 $数学公式$ 的最小值为________．

$\text{[math]}$
分析：法一：先利用二倍角公式将函数f（x）化简，有两个方向，一是通过升次缩角，将函数中的角统一为单角x，通过对二次齐次式分子分母同除以cos²x的办法，转化为关于x的正切函数的值域问题，利用均值定理求最值，
法二：是通过降次扩角，将函数中的角统一为倍角2x，利用数形结合求函数的最值
解答：解法一：∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，∴cosx＞0，tanx＞0，
∴将f（x）的分子分母同除以cos²x
∴f（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$
（当且仅当tanx= $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ 时取等号）
∴函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 2 $\text{[math]}$
故答案为2 $\text{[math]}$
解法二：∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴设x=sin2x，y=cos2x，
∵ $\text{[math]}$ ，∴0＜x≤1，-1＜y＜1，
且x²+y²=1
∴点P（x，y）在以原点为圆心，1为半径的圆的右半圆上，如图

此时 $\text{[math]}$ 表示点P与点（0，2）连线的斜率
数形结合可得：OP=r=1，OM=2，∠MAO=60°
∴ $\text{[math]}$ ≤- $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$
∴函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 2 $\text{[math]}$
故答案为2 $\text{[math]}$
点评：本题考察了三角函数求最值的方法，二倍角公式的应用，均值定理求最值和数形结合求最值的运用，转化化归的思想方法