Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．
（I）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（II）若PC=，求三棱锥C﹣ABE高的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=2，
∴AC=BC= ，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，
∴AC⊥平面PBC，
∵AC平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC．
（Ⅱ）由PC= ，知△PBC为等腰直角三角形，
则S_△BCE= S_△PBC= ，
由（Ⅰ）知，AC为三棱锥A﹣BCE高．
 ∵Rt△PCA≌Rt△PCB≌Rt△ACB，PA=PB=AB=2，
∴S_△ABE= S_△PAB= ，
设三棱锥C﹣ABE的高为h，
则 S_△ABE·h= S_△BCE·AC，
即 × h= × × ，
∴h= ，
∴三棱锥C﹣ABE的高等于 ．